частица в сферически симметричном поле

Частица в сферически симметричном поле

где, в отличие от (1.32), вместо V(r) стоит V(r’) и поэтому она тоже зависит лишь от r и угла θr между k и r, но не зависит от азимутального угла. Представим eqqti01 25e(r) в виде разложения по полиномам Лежандра от косинуса угла θr:

Однако, имея дело с задачей рассеяния, где более тонко стоит вопрос о дополнительных условиях к решению волнового уравнения, удобно наряду с дифференциальным уравнением (3.3) построить также и интегральное уравнение для функции R^(r), соответствующее интегральному уравнению (3.1).
Для этого подставим (3.2) в (3.1), разложим по парциальным волнам плоскую волну [1, с. 271]:

где j(kr) − сферическая функция Бесселя, и, умножив правую и левую части уравнения на P(cosθr), воспользуемся свойством ортонормированности полиномов Лежандра:

Воспользуемся вьфажением (1.21) для функции Грина, а также известным в теории специальных функций разложением [3]:

где r − большее из значений r и r, nи n − единичные векторы в направлении векторов r и r, а nλ(x) − сферическая функция Неймана. Подставляя (3.7) в (3.6) и используя известные формулы

получаем интегральное уравнение для радиальных функций R(r) в окончательном виде:

функция Грина для ℓ-й парциальной волны свободной частицы.
Рассмотрим асимптотику радиальных функций R(r) при больших r. Для этого нам понадобятся асимптотические выражения сферических функций Бесселя и Неймана, входящих в (3.10) и
(3.11) [1, с. 269]:

Подставляя их в (3.11), получаем

Здесь мы ограничились случаем потенциала конечного радиуса. Введем обозначение

и запишем с его помощью асимптотическое выражение (3.14) более компактно:

Подставляя это выражение в (3.2) и снова используя (3.4), получаем

Отсюда видно, что ƒ − это коэффициент разложения амплитуды рассеяния по полиномам Лежандра:

§ 3.2. Фазы рассеяния

Перестроим асимптотическое выражение (3.16), придав ему вид суперпозиции сходящейся и расходящейся сферических волн:

Условие (3.20) позволяет ввести для описания каждой парциальной амплитуды рассеяния ƒ(k), являющейся, вообще говоря, комплексной функцией энергии (импульса) частицы, одну вещественную функцию δ(k), называемую фазой рассеяния :

To же соотношение полезно записать и по-другому:

При каждом значении энергии (импульса) частицы фазы рассеяния δ полностью определяют асимптотический вид радиальной функции R(r) соответствующей парциальной волны. Подставляя (3.21) в (3.19), получаем

Как видно из (3.15), при «выключении» взаимодействия частицы с силовым центром (V→0) обращаются в нуль все парциальные амплитуды рассеяния ƒ, а вместе с ними, согласно (3.21), и все фазы δ. При этом асимптотическое выражение (3.23) превращается в асимптотику ℓ-й составляющей волновой функции свободной частицы:

Сравнение выражений (3.24) и (3.23), отличающихся фазовым сдвигом в аргументе синуса, позволяет лучше понять смысл термина «фаза рассеяния».
Выразив через фазы рассеяния δ парциальные амплитуды ƒ, мы можем, пользуясь соотношениями (3.18) и (1.41), выразить через них полную амплитуду рассеяния, дифференциальное сечение, а затем и полное сечение рассеяния:

(при получении последней формулы мы воспользовались свойством ортонормированности полиномов Лежандра (3.5)). Формула (3.26) показывает, что угловое распределение рассеянных частиц зависит от интерференции между парциальными волнами с разными значениями орбитального момента частицы. Однако в полном сечении рассеяния а после интегрирования по всем углам вьшета рассеянной частицы эффект интерференции пропадает.
Сравнение формул (3.25) и (3.27) позволяет установить интересное соотношение между мнимой частью амплитуды рассеяния вперёд и полным сечением рассеяния:

§ 3.3. Энергетическая зависимость фаз рассеяния при низких энергиях

Это и есть искомая зависимость фаз рассеяния от энергии (импульса) частиц при малых энергиях. Она носит универсальный характер и присуща рассеянию на любом потенциале конечного радиуса.

§ 3.4. Методы вычисления фаз рассеяния

Точное решение задачи рассеяния с целью вычисления фаз рассеяния возможно лишь для отдельных искусственно придуманных потенциалов. На практике, когда приходится иметь дело с реалистическими потенциалами, фазы рассеяния всегда вычисляются приближенно, что связано либо с использованием тех или иных физических аппроксимаций, либо с проведением численного счета. Мы познакомимся с методами и того и другого родов.

а) Метод решения радиального уравнения Шредингера

Перепишем уравнение (3.3) в виде

Здесь, как и при решении задачи о связанных состояниях частицы [1, с.114], функции u(r) связаны с R(r) соотношением

и при малых r ведут себя согласно степенному закону:

Поведение u(r) при асимптотически больших г получаем из (3.23):

В общем случае уравнение (3.34) интегрируется численно, начиная от r = 0; для «разгонки» численного интегрирования удобно использовать свойство (3.36). Мы не будем вдаваться в чисто вычислительные аспекты этой процедуры. Для нас важно, что задачей интегрирования является построение всего «профиля» функции u(r) с выходом при r → ∞ на асимптотику (3.37); при этом должно быть соблюдено условие непрерывности функции u(r) и ее первой производной u(r) во всей области 0 > 1, r > d. Если энергия частицы Е и размеры области взаимодействия d таковы, что условие kr >> 1 не выполняется, то асимптотическое поведение (3.37) начинается далеко за границей области взаимодействия (r >> d). В этом случае не рационально доводить численное интегрирование до асимптотически больших значений r >> d, поскольку уже при r > d частица движется свободно и уравнение (3.3) переходит в уравнение движения свободной частицы:

При Е > 0 его линейно независимыми решениями являются сферическая функция Бесселя j(kr) и сферическая функция Неймана n(kr), а общее решение уравнения (3.34) при r > d имеет вид

Вместо констант интегрирования А и В удобно выбрать две другие:

С учетом (3.12) и (3.13) отсюда видно, что общее решение (3.39) имеет требуемую асимптотику (3.37).
Таким образом, практическая задача интегрирования уравнения (3.34) заключается в том, чтобы, начиная с r = 0, выйти в область свободного движения частицы r > d и «сшить» волновую функцию, найденную для внутренней области, с функцией (3.41). Пусть rint(r) = uint/r − решение уравнения (3.3), (3.34), удовлетворяющее условию (3.36) и справедливое во всей внутренней области 0 логарифмическую производную волновой функции rint(r) на границе области взаимодействия:

Исключая из (3.42) константу C (а вместе с ней и произвольно выбираемый при интегрировании уравнения (3.3) нормировочный множитель в rint(r)), выражаем фазу рассеяния δ через логарифмическую производную ƒ:

В качестве примера рассчитаем фазы рассеяния частицы на прямоугольной яме:

В этом случае для получения волновой функции R(r) во внутренней области не требуется численного интегрирования:

Отсюда находим логарифмическую производную (3.43):

а далее по формуле (3.44) и фазу рассеяния:

В качестве другого примера рассмотрим рассеяние частицы абсолютно твердой сферой. На поверхности такой сферы (r = d) «внешняя» волновая функция обращается в нуль:

Подставляя сюда (3.41), находим

В частности, при малых энергиях частицы отсюда получаем

б) Теория возмущений

Если V(r) мало, то радиальную функцию R(r), входящую в формулу (3.29) для фазы и удовлетворяющую уравнению (3.10), можно заменить во внутренней области (r ℓ (2ℓ + 1)j(kr). Тогда получаем приближенное выражение для фазы:

а вместе с ним и для парциальной амплитуды рассеяния:

Таким образом, условие применимости теории возмущений для фаз − это малость фаз:

в) Метод фазовых функций

С точки зрения математики метод фазовых функций представляет собой особый способ решения радиального уравнения Шредингера (3.3), являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка, или соответствующего ему интегрального уравнения (3.10). Он очень удобен для получения фаз рассеяния, так как по этому методу не требуется сначала вычислять в широкой области радиальные волновые функции задачи рассеяния и уже лишь потом, по их асимптотике, находить фазы. Сводя дело к решению нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, метод фазовых функций очень удобен также с точки зрения выполнения численных расчетов на ЭВМ. Ниже мы изложим лишь основную идею этого метода.
Будем отправляться от интегрального уравнения (3.10), куда подставим функции Грина gl(E,r,r) в форме (3.11). Тогда радиальную функцию R(r) можно представить в виде

Используя (3.29), легко показать, что отношение этих функций при асимптотически больших г дает фазу рассеяния:

Фазовой функцией называется функция δ(r), определенная соотношением

Как видно из (3.64), ее предел при r → ∞ есть фаза рассеяния:

Легко убедиться путем непосредственной подстановки выражения (3.65), что фазовая функция δ(r) удовлетворяет при всех r уравнению

которое надо решать с дополнительным условием:

Конечно, для получения предельного значения δ(∞) достаточно интегрировать уравнение (3.67) от нуля до границы области взаимодействия. Это хорошо видно также, если уравнению (3.67) придать вид интегрального уравнения:

Уравнения (3.68) и (3.69) раскрывают физический смысл функции δ(r): фазовая функция δ(r), соответствующая заданному потенциалу V(r), − это фаза рассеяния частицы потенциалом, который «обрезан» в точке r, а на меньших расстояниях совпадает с V(r).

Упражнения

3.1. Найти связь между функцией Грина eqqti01 11(Е,r,r) и функциями Грина gl(E,r,r).

fqti03 00

3.2. Получить общую формулу для фаз рассеяния δ частицы потенциальной ямой глубины V0 радиуса d с бесконечной отталкивающей серединой paдиуса а в центре ямы (см. рис.).

3.3. Вычислить борновскую фазу s-волны bph(k) при рассеянии частицы прямоугольной потенциальной ямой (3.45). Сравнить с точным решением (3.49). В случае kd

Источник

Частица в сферически симметричном поле

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

где op h– оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

eqsem05 02

в которой vecp1и vecr1заменены операторами импульса op psmx, op psmy, op psmz и координаты , op y, op z sm:

eqsem05 03

х → = х, y → op y= y, z → op z sm= z,

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

eqsem05 01

где op h– гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(vecr1,t) = ψ(vecr1)θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если op hне зависит от времени, тогда уравнение op hψ = iћψ принимает вид θop hψ = iћψθ или

eqsem05 05

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

eqsem05 06

θ(t) = exp(−iEt/ћ), op hψ(vecr1) = Eψ(vecr1) и Ψ(vecr1,t) = ψ(vecr1)exp(−iEt/ћ).

Уравнение op hψ(vecr1) = Eψ(vecr1) называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

eqsem05 07или eqsem05 08

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(vecr1):

−(ћ 2 /2m)Δψ(vecr1) + U(vecr1)ψ(vecr1) = Eψ(vecr1),

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

op hψ(vecr1) = Eψ(vecr1). (4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(vecr1,t)|, то она

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

fsem05 01
Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки

eqsem05 12

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

fsem05 02

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

eqsem05 16 eqsem05 13n = 1, 2, …
eqsem05 09

Одномерный гармонический осциллятор:

eqsem05 17En = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

eqsem05 19Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)
eqsem05 20
(4.17)

fsem05 03

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r0 = ћ 2 /mee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

eqsem05 18

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и Lz являются решением уравнений

op l2 Ylm(θ,φ) = L 2 Ylm(θ,φ) и op lzYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
Lz = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0 s-состояние
l = 1 p-состояние
l = 2 d-состояние
l = 3 f-состояние
l = 4 g-состояние
l = 5 h-состояние
и. т. д.

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

fsem05 04

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора vectl1при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина vects1и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента vectl1и орбитальным квантовым числом l:

szћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц vecj1является векторной суммой орбитального vectl1и спинового vects1моментов количества движения.

vecj1= vectl1+ vects1.

Квадрат полного момента имеет значение:

vecj12 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов vectl1и vects1, может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция vecj1на выделенную ось Jz также принимает дискретные значения:

Число значений проекции Jz равно 2j + 1. Если для vectl1и vects1определены единственные значения проекций на ось z lz и sz, то jz также определена однозначно: jz = lz + sz.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

eqsem05 23

Задачи

solution

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

solution

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d5/2?

solution

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

solution

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>n = |1, 1 /2: 3 /2>, |l,s:j>p = |1, 1 /2: 3 /2>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>1 = |1, 1 /2: 3 /2> и |l,s:j>2 = |1, 1 /2: 3 /2>?

solution

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента jz. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; jz = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; jz = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию Jz. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона op hэлектронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /2L, x = 2 /3L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /3L, 2 /3L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

Источник

Adblock
detector