что такое поле в математике
Группы, кольца, поля в математике
Группа: определение и примеры групп
Множество с алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:
1) операция в ассоциативна: ;
2) в существует нейтральный элемент ;
Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как
Кольцо
1) относительно операции сложения множество — коммутативная группа, т.е.
а) операция сложения коммутативна: ;
б) операция сложения ассоциативна: ;
в) существует нулевой элемент ;
г) для каждого элемента существует противоположный ему элемент ;
2) операция умножения в множестве ассоциативна:
3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.
Если операция коммутативна, то дистрибутивность слева операции относительно операции влечет дистрибутивность справа, так как
Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел справедливы равенства
Следовательно, операция дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность слева относительно умножения опровергается примером
Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где и — целые числа, является кольцом:
Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:
Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.
Поле: определение и примеры полей
1) — коммутативное кольцо с единицей ;
Как видим, поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.
Пример В.8. На множестве трех целых чисел определим две операции:
1) «сложение по модулю 3» — остаток от деления суммы на 3 (обозначим через );
2) «умножение по модулю 3» — остаток от деления произведения на 3 (обозначим через ).
Доказать, что множество является полем относительно введенных операций.
– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:
– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:
Рассматриваемые в примере операции «сложения по модулю 3» и «умножения по модулю 3» можно представить в виде
Покажем, что множество является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция «сложения по модулю 3» коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства следует, что
Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность «сложения по модулю 3» видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые и в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.
Из равенства следует, что
Ассоциативность «сложения по модулю 3» доказана.
Итак, множество относительно операции «сложения по модулю 3» является коммутативной группой.
Операция «умножение по модулю 3» ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:
Следовательно, операция «умножения по модулю 3» дистрибутивна слева относительно операции «сложения по модулю 3». Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.
Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице «умножения по модулю 3»). Следовательно, — коммутативное кольцо с единицей.
Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где и — рациональные числа, является полем:
Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:
Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.
