электрическое поле равномерно заряженного цилиндра
Электрическое поле равномерно заряженного цилиндра
Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса | |
Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности. Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).
Тогда Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен: Внутри поверхности заключен заряд откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна: Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13). Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор). Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными. Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. Это формула для расчета пондермоторной силы. Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров Следовательно, поток вектора При Если Если уменьшать радиус цилиндра R (при Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае: Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор). Поле заряженного пустотелого шара Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, Если откуда поле вне сферы: Внутри сферы, при Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула: Но внутри шара при где ρ – объемная плотность заряда, равная: Таким образом, внутри шара Электрическое поле равномерно заряженного цилиндраЭкспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда. Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля
Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса (рис. 1.3.3). Таким образом, теорема Гаусса доказана. Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона. Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать. Этот результат не зависит от радиуса заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити. Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля. Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5). Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки. ЛЕКЦИЯ №5
1. Общие замечания.В лекции №4 п.1 была установлена связь между электростатическим полем и его источниками (зарядами) в виде определения напряженности (4.4). Однако эта связь может быть записана гораздо более простым и изящным способом, для изложения которого нам придётся вначале ознакомиться с рядом математических понятий. 2. Определение и общие замечания о структуре векторного поля(математическое отступление).Пусть в некоторой области пространства определено какое-либо векторное поле. Это означает, что в каждой точке данной области пространства задан вектор поля, который будем обозначать 3. Понятие потока и дивергенции(математическое отступление).Пусть в области пространства, в которой определено векторное поле
Как видно из этого определения интегрируется, фактически, нормальная составляющая вектора Если поверхность S является замкнутой, то поток вектора
Теперь дадим определение дивергенции векторного поля. Окружим точку пространства М, где имеется источник векторного поля, произвольной замкнутой поверхностью S.
Как видно из определения, дивергенция представляет собой плотность потока векторного поля.
4. Дивергенция в различных системах координат (математическое отступление).Исходя из определения дивергенции (5.3) в математической теории поля получают следующие формулы, позволяющие вычислять дивергенцию в различных системах координат:
связывающее поток вектора 6. теорема Гаусса в физике.В электродинамике данная теорема называется просто теоремой Гаусса и формулируется следующим образом:
Не доказывая данной теоремы, покажем, как можно прийти к её формулировке. Пусть имеется сферическая замкнутая поверхность произвольного радиуса, а в центре точечный заряд q (рис.5.3а). Задача симметрична. Очевидно, что Т.о., получили, что поток не зависит от радиуса сферы. Теперь эту сферу окружим произвольной поверхностью (рис.5.3б). Понятно, что поток чего-то, обратно пропорционального квадрату расстояния, через замкнутую поверхность не зависит от формы и размера поверхности.
Легко получить дифференциальную форму данной теоремы для величин, относящихся к точке пространства.
Левые части формул равны, следовательно, равны и правые, а значит и подынтегральные функции: 7. Использование теоремы Гаусса для расчёта электростатических полей (общие соображения). Очевидно, что такие поверхности есть у любой статической системы зарядов, но заранее они известны далеко не всегда. Например, в случае заряженного диска, или просто заряженной нити, свитой в кольцо, эти поверхности очень сложны и сами требуют весьма непростого расчета. Следовательно, рассчитать поля, создаваемые указанными заряженными телами с помощью теоремы Гаусса нельзя. Необходимо, однако, сделать следующее замечание о том, что с помощью теоремы Гаусса можно рассчитывать еще поля, создаваемые заряженными телами, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких симметрично заряженных тел. Находя отдельно поля, создаваемые каждым из таких тел, мы, используя принцип суперпозиции электрических полей, находим результирующее поле, создаваемое исходным телом. 8. Напряженность равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.В качестве первого примера применения теоремы Гаусса для расчета электростатических полей рассмотрим подробно решение задачи о напряженности электростатического поля, созданного равномерно заряженным по объему бесконечно-длинным цилиндром радиуса R. На единицу длины цилиндра приходится заряд t (см. формулу (2.8)). б) В силу симметрии распределения заряда по объему цилиндра, а также его бесконечной длины можно сделать вывод о том, что в любой точке пространства напряженность электрического поля направлена перпендикулярно оси цилиндра, и её модуль зависит только от расстояния до этой оси: в) В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр радиуса r произвольной высоты h (рис.5.4). Это обусловлено тем, что в каждой точке боковой поверхности данного цилиндра Er(r)=const (при r=const), а поток вектора
что представляет собой частный случай формулы (5.8). г) Найдём напряжённость поля внутри и вне цилиндра. Заряд, попавший внутрь цилиндра радиуса r и высоты h равен (см. рис.5.4) При рассмотрении внешней области внутрь поверхности интегрирования попадает Q= t h. Следовательно д) Таким образом, напряженность поля данного цилиндра в каждой точке пространства определяется выражением:
Рассмотрим теперь пример расчёта полей, создаваемых заряженными телами, обладающими декартовой и сферической симметрией, соответственно. 9. Напряженность бесконечной заряженной плоскости.Если еще учесть знаки, то тогда проекция напряженности на ось ОХ будет равна Очевидно, что скачок напряженности на заряженной поверхности равен 2 s/e0 . Запомним пока этот факт. 10. Напряженность двух бесконечных заряженных плоскостей.В этом случае заряд распределен только по внутренним сторонам поверхностей (из-за взаимовлияния) с плотностью s ‘=2 s . Поле внутри
11. Напряженность равномерно заряженной сферы.Пусть по поверхности сферы равномерно распределен электрический заряд q (рис.5.9). Задача центрально-симметричная
12. Напряженность равномерно заряженного шара.Пусть имеется однородно заряженный шар (рис.5.12). Задача снова центрально симметричная, т.е.
Разделяя переменные, получим
Константу считаем равной 0, чтобы не было расходимости при r=0. В итоге получаем формулу (5.14) и график на рис.5.13.
13. Теорема Ирншоу(1839 г.).Утверждение о неустойчивости статической системы зарядов называется теоремой Ирншоу.
Действительно, пусть имеется заряд, для определенности положительный. Окружим его произвольной замкнутой поверхностью. Чтобы он находился в устойчивом равновесии, необходимо, чтобы поле, образованное всеми остальными зарядами, было направлено к той точке, в которой он первоначально находился. Тогда при отклонении его от положения равновесия, на него будет действовать возвращающая сила. Но в этом случае поток напряженности через эту замкнутую поверхность должен быть отрицательным, т.к. напряженность противоположно направлена внешней нормали. Однако, по теореме Гаусса, поток поля, созданного зарядами вне поверхности, должен быть равен 0. Иначе говоря, нет “пустой” области, где все поле направлено внутрь или наружу. С энергетической точки зрения неустойчивость связана с отсутствием минимума потенциальной энергии. Если заряды не могут иметь неустойчивого равновесия, то нельзя представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов). Первая модель атома Томсона представляла собой «положительный пудинг с отрицательными изюминками», то есть неустойчивая система. Резерфорд показал, что в атоме есть маленькое положительное ядро, но такая система тоже неустойчива. Резерфорд и Бор предложили движение электронов по орбитам. Но так как они в этом случае движутся с центростремительным ускорением, то должны излучать, терять энергию и упасть на ядро. Опять неустойчивость! Сейчас стабильность атома объясняют с помощью квантовой механики. Электрон «размазан» в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. И такая система устойчива!
detector |