Явление электризации часто встречается в повседневной жизни, когда два тела взаимодействуют друг с другом. (из ответа на экзамене)
1. Силы, действующие на заряженную поверхность.
(12.1)
где — напряженность поля на поверхности без учета собственного поля этих свободных зарядов, так как заряд не может действовать сам на себя (только барон Мюнхгаузен мог вытащить сам себя за волосы из болота). Поля по обе стороны от границы очевидно равны
, , следовательно, .
Ранее (лк.№5 п.9) отмечалось, что поля заряженной плоскости по обе стороны равны по модулю и противоположны по направлению. Тогда
и сила равна
Из последней формулы и граничного условия (11.30) следует
(12.7)
Пусть есть две очень большие равномерно заряженные пластины. Ранее отмечалось, что поле между ними однородно, а снаружи поля нет. Если эту систему рассмотреть как одну пластину в поле другой (рис.12.1а), то
Если же между ними диэлектрик (рис.12.1б), то можно поступить аналогично, а можно применить формулу (12.7), например, для левой пластины
то есть сила уменьшилась в e раз.
Заметим, что если между пластинами и средой есть хотя бы маленький зазор, то диэлектрик на них уже не действует и сила остается прежней (рис.12.1в).
Последний интеграл достаточно простой. После вычислений получаем
(12.12)
Сравните это результат с силой, действующей на заряд со стороны стенки (10.4) и убедитесь в справедливости третьего закона Ньютона.
Легко понять, что если в электростатическое поле поместить объемный проводник, то на его поверхность будет действовать сила
(12.13)
2. Поляризованный шар.
Поляризованный шар можно представить себе как два разноименных однородно заряженных (не диэлектрических!) шара, центры которых смещены на небольшое расстояние l.
Поле шара внутри шара мы знаем (5.14). Тогда в произвольной точке внутри шара
(12.16)
то есть собственное поле внутри шара однородно. Снаружи ситуация еще проще. Так как поле шара вне шара совпадает с полем точечного заряда, то получается поле диполя
(12.17)
нужно только, чтобы R>>l. Поле (линии напряженности) поляризованного шара показано на рис.12.4.
В верхней точке шара внешнее поле направлено вверх и равно
Оно в 2 раза больше внутреннего поля, направленного вниз.
3. Поляризованный шар в однородном поле.
Пусть в однородное поле с напряженностью поместили диэлектрический шар. Тогда его поляризованность в соответствии с (11.17)
, где — результирующее поле внутри диэлектрика, которое в свою очередь равно (см. формулу (12.16)).
Отсюда сразу же получаем напряженность
,
а также поляризованность
и дипольный момент всего шара
(12.23)
Линии напряженности внутреннего и внешнего поля показаны на рис.12.5.
Для вычисления поля снаружи нужно сложить внешнее поле и поле диполя (12.17). Так для верхней точки шара имеем
тогда отношение результирующих полей внутри и снаружи
что совпадает с граничными условиями (11.30).
rem: В ряде случаев можно считать, что для проводника диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности. Это и понятно, так как на любой заряд внутри проводника не действует сила.
Если изучать рассмотренные выше формулы с этой точки зрения, то можно лишний раз убедиться, что внутри проводника поле равно нулю.
4. Диэлектрический шар в неоднородном поле.
Пусть имеется маленький диэлектрический шар в исходно неоднородном поле . Неоднородность его такова, что вблизи шара поле можно считать однородным. Тогда в соответствии с (8.19) и (12.23)
Используя формулу векторного анализа (8.20) имеем
(12.27)
То есть сила направлена в сторону возрастания поля. Если шар проводящий, то
(12.28)
Этими формулами объясняется явление, с которого обычно начинают изучение электричества: мелкие незаряженные предметы притягиваются к заряженному телу.
Если исходное поле было создано точечным зарядом, напряженность которого хорошо известна (4.10), то
(12.29)
то есть шарик притягивается к заряду с силой обратно пропорциональной пятой степени расстояния.
5. Точечный заряд и проводящая сфера.
Еще раз вернемся к задаче о взаимодействии точечного заряда и нейтральной сферы. Если вы внимательно прочитали лк. №10 п.2, то без труда можете рассчитать силу, с которой сфера действует на заряд
или ,
где . Если |m|
что в точности совпадает с (12.29).
Попробуем вычислить силу, действующую на эту сферу, воспользовавшись (12.13). Для этого сначала найдем напряженность поля в каждой точке сферы. Исходя из рис.12.6, получаем
или ,
где 0
можно построить график зависимости поверхностной плотности заряда от угла (рис.12.7). Видно, что сфера заряжена неравномерно. Напротив точечного заряда поверхностная плотность противоположна по знаку и максимальна по модулю. Интегрированием по поверхности сферы можно убедиться, что суммарный заряд на ней равен 0, как и предполагалось.
Используя (12.13) можно убедиться, что сила получается той же самой. Если представить эту сферу собранной из 2 половинок, то можно рассчитать силу, действующую на каждую половинку, и тем самым определить, какие силы стремятся растянуть эту сферу.
6. Точечный заряд и плоский диэлектрик.
Для решения этой задачи предоставим слово Д.В. Сивухину (§24). Пусть два однородных изотропных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями e 1 и e 2 граничат друг с другом вдоль плоскости. В первом диэлектрике есть точечный заряд q. Поле в обеих областях складывается из поля этого заряда и поляризационных зарядов на границе раздела. Введем предположение, что поле поляризационных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю какого-то заряда q1 зеркально расположенного относительно границы раздела (рис.12.8).
Тогда для поля в первом диэлектрике можно написать
Введем еще одно предположение, что поле во втором диэлектрике образовано еще одним фиктивным зарядом q2, расположенным там же где и исходный заряд.
Справедливость предположений будет доказана дальнейшими вычислениями.
Теперь на границе поля надо «сшить».
и
Из последних уравнений и находим необходимые заряды.
Окончательно получаем следующие выражения для полей.
и
Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи и, по теореме единственности других решений быть не может. Если считать диэлектрическую проницаемость второй среды очень большой (проводник), то получаем поле точечного заряда около проводящей плоскости (см. лк. №10 п.1).
Легко рассчитать силу, действующую на заряд со стороны диэлектрика, как силу между зарядами q и q1
(12.43)
Заряд может, как притягиваться, так и отталкиваться. Все зависит от того, в какой среде проницаемость больше. Это более общее выражение, чем (10.4)
7. Объемные силы в диэлектрике.
Рассмотрим теперь силы, которые возникают даже в отсутствии свободных зарядов. В «толстых» книжках (Сивухин §34 или Матвеев А.Н. «Электродинамика», §24) доказывается формула для силы, действующей на бесконечно малый объем диэлектрика
(12.46)
Данная сила получила название пондеромоторной.
def:Пондеромоторными называют силы, действующие на весомые тела.
Этот термин был введен тогда, когда признавалось существование невесомых субстанций (эфир, теплород и т.д.).
Рассмотрим в качестве примера силы, действующие на диэлектрический шар в однородном поле (рис.12.9).
Из второго слагаемого очевидно, что пондеромоторная сила направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. Для непосредственного применения формулы (12.46) необходимо допустить, что переход от внешней относительно шара области с диэлектрической проницаемостью e 2 к внутренней с диэлектрической проницаемостью e 1 происходит не скачком на поверхности шара, а непрерывно в некотором сферическом слое. В этом случае напряженность изменяется непрерывно от ее значения вне шара до значения внутри шара. В каждой точке шарового слоя для вычисления силы можно использовать формулу (12.46).
В случае e 1> e 2 поле внутри шара меньше, чем вне шара. Поэтому сила стремится разорвать шар, однако полная равнодействующая всех сил равна нулю и шар, как целое, остается в покое.
При e 1 e 2 силы в переходном сферическом слое направлены внутрь шара и их равнодействующие по разные стороны шара стремятся сжать его по линии внешнего поля. Полная сила, действующая на шар, как и в предыдущем случае, равна нулю.
Если же внешнее поле неоднородно, то полная сила, действующая на шар, не равна нулю (рис.12.10). С помощью аналогичных рассуждений заключаем, что при e 1> e 2 полная действующая на шар сила направлена в сторону возрастания поля в среде.
Если же e 1 e 2, то действующая на диэлектрический шар сила направлена противоположно, то есть в сторону уменьшения поля в среде. Поэтому в среде с достаточно большой диэлектрической проницаемостью, например в керосине, диэлектрические предметы отталкиваются от наэлектризованных тел.
(12.47)
Очевидно, что . Тогда второе слагаемое из (12.46) и первое из (12.47) сокращаются и остается (без первого и четвертого слагаемых)
(12.49)
Из этой формулы видно, что направление силы, действующей на диэлектрик, не зависит от направления поля, она всегда направлена в сторону максимального возрастания напряженности электрического поля. Это означает, что диэлектрик увлекается в область наибольшей напряженности электростатического поля.
Происхождение силы (12.49) можно пояснить по-другому. Согласно (8.19), (8.20) и (11.17)
В частности на пластину диэлектрика на рис.12.1в в целом сила не действует. Но на каждую сторону действует растягивающая сила.
По тем же причинам диэлектрик может втягиваться между заряженными пластинами (рис.12.11). Сверху поле больше, чем в самом диэлектрике. Такую задачу решить с точки зрения сил очень сложно. Мы вернемся к ней при изучении энергетических соотношений (см. лк.№16 п.11).
Посмотрим, какие изменения внесет проводящий шар, помещенный в однородное электрическое поле. Данная задача весьма популярна, известно несколько принципиально различных методов ее решения. Мы же воспользуемся уже полученными нами результатами. Поместим шар посредине между двумя одинаковыми по величине, но противоположными по знаку точечными зарядами и . Обозначим расстояния от зарядов до центра шара (рис.24).
. (29)
При увеличении расстояния между зарядами поле в области шара становится практически однородным с напряженностью
. (30)
Выразим индуцированный дипольный момент шара через напряженность поля
, (31)
как видите этот дипольный момент не зависит от «придуманных» зарядов и расстояния , поэтому и в однородном поле шар будет иметь такой же дипольный момент. Таким образом, поле индуцированных на поверхности шара зарядов эквивалентно полю точечного диполя (31), находящегося в центре шара. Ну а поле диполя мы уже рассчитывали, поэтому приводим результат расчета силовых линий суммарного поля: исходного однородного и индуцированного (рис.25). Неплохо также смотрится и распределение потенциала (рис.26).
Замечу, что потенциал однородного поля изменяется по линейному закону, поэтому распределение потенциала в таком поле изображается наклонной плоскостью. При помещении в это поле проводящего шара на наклонной плоскости появляется горизонтальная площадка, соответствующая условию постоянства потенциала на проводнике.
Задание для самостоятельной работы.
1. Постройте силовые линии электрического поля, если в изначально однородное поле помещен шар, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью . Внимательно, посмотрите на наш переход от проводящей плоскости к полупространству, заполненному диэлектриком.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Положительно заряженный шар массой и зарядом подвешен на тонкой нерастяжимой нити длиной в однородном электрическом поле с напряженностью направленной вниз. Шар совершает круговые движения в горизонтальной плоскости, при этом нить составляет угол с вертикалью. Нарисуйте все силы, действующие на шар, и найдите частоту его обращения.
На шар действуют силы тяжести, сила электрического поля и сила натяжения нити. Так как q > 0, сила электрического поля сонаправлена с вектором напряжённости.
Направим оси в отдельно взятый момент вращения как показано на рисунке. Шар движется по окружности, поэтому аτ = 0, Запишем второй закон Ньютона для шара:
В проекции на ось Ox: (1).
В проекции на ось Oy: (2).
Из (2) выразим T и подставим в (1):
Частота обращения равна
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом;
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
III) проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины
3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объёме или отсутствуют.
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачёркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.).
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических
преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины)
2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
(12.1)
— напряженность поля на поверхности без учета собственного поля этих свободных зарядов, так как заряд не может действовать сам на себя (только барон Мюнхгаузен мог вытащить сам себя за волосы из болота). Поля по обе стороны от границы очевидно равны
, 
, следовательно, 
.
и сила равна 
(12.7) 
(12.12)
(12.13)
(12.16) 
(12.17)
поместили диэлектрический шар. Тогда его поляризованность в соответствии с (11.17)
, где 
— результирующее поле внутри диэлектрика, которое в свою очередь равно (см. формулу (12.16)).
,
(12.23)
. Неоднородность его такова, что вблизи шара поле можно считать однородным. Тогда в соответствии с (8.19) и (12.23)
(12.27)
(12.28)
(12.29)
или 
,
. Если |m| 
или 
,
и 
и 
(12.43)
(12.46)
(12.47)
. Тогда второе слагаемое из (12.46) и первое из (12.47) сокращаются и остается (без первого и четвертого слагаемых)
(12.49)
Посмотрим, какие изменения внесет проводящий шар, помещенный в однородное электрическое поле. Данная задача весьма популярна, известно несколько принципиально различных методов ее решения. Мы же воспользуемся уже полученными нами результатами. Поместим шар посредине между двумя одинаковыми по величине, но противоположными по знаку точечными зарядами 
и 
. Обозначим расстояния от зарядов до центра шара 
(рис.24).
. (29)
. (30)
, (31)
и расстояния 
. Внимательно, посмотрите на наш переход от проводящей плоскости к полупространству, заполненному диэлектриком.
и зарядом 
подвешен на тонкой нерастяжимой нити длиной 
в однородном электрическом поле с напряженностью 
направленной вниз. Шар совершает круговые движения в горизонтальной плоскости, при этом нить составляет угол 
с вертикалью. Нарисуйте все силы, действующие на шар, и найдите частоту его обращения.
Запишем второй закон Ньютона для шара:
(1).
(2).
